第731章（1 / 2）

前面提到过惯性，惯性必然涉及外因的出现。宇宙中的事物总是相互联系的（马赫惯性系），对称的事物及其外因是绑定的。当考察某事物对称性变化时，外因的集合（外因的总体）是否满足对称，或外因与事物的关联方式是否满足对称，都会对事物的演变、对称破缺产生影响。而对影响结果的分析，可在不了解事物演变规律的情况下，进行粗略评估。

在上述阐述中，因导致果，是缺省说明的内在要求。称这种关系为因果关系。佛教里面跨越时空的因果关系不在讨论范围内。我们讨论的都是可以重复进行、反复验证的因果关系。

以马格努斯效应为例，如右图。球向左飞行，如果球不旋转，则球保持上下镜像对称，对称中心线就是穿过球心的左右水平线。而球保持旋转。则球的两侧相对空气的速度有差异，破坏了上下对称，即便不了解空气压力，也可知道球偏离原始的单纯向左运动。至于向上还是下偏移，则需要了解运动规则细节才能知道。旋转导致上下对称破缺，产生轨迹偏移。因=对称破缺，果=轨迹偏移，偏移方向位于对称破缺的方向上，即上下方向（而不是垂直纸平面方向）。

法国人居里（他的妻子就是居里夫人）提出对称性原理：原因中的对称性反映在结果中，结果中的对称性不少于原因中的对称性。（对应的逆否定理自己给出）

同样是球的飞行，现在方向变为从纸里向外垂直于纸面飞行，从球的正面观察，球保持旋转对称，对称轴是穿过球心的垂直于纸面的直线。现在球存在旋转，但旋转轴和球的旋转对称轴重合！那么球的旋转没有破坏球在前进方向上的旋转对称性，因此不会对球的飞行轨迹产生任何影响。火器发展到十九世纪，出现线膛枪，射出的子弹就带有旋转，旋转轴和子弹飞行轨迹重合。这种旋转对空气的干扰有很强的抵抗能力，准确度大大高于滑膛枪，现代的枪支都是线膛枪。

思考：

水是良好的溶剂，但是无法溶解油脂。因为水的分子结构对称性低，虽然整体不带电性，却使得分子的某个方向产生电负性，相反方向是电正性。而油脂的分子对称性高，整体和局部都不存在电性。水这样的分子称为极性分子，油脂类型的称为非极性分子。可以想象，水能溶解的物质，都存在和水分子一样的状况，要么是极性分子，要么可以分离为电正性、电负性两部分。而油脂类型的分子也可以做溶剂，比如汽油。可以溶解的分子也必然是对称性程度接近，都是极性分子。比如手上沾了油漆，需要用汽油清洗。酒精，既可溶解极性分子（水），也能和非极性分子混合（香精）。从分子的结构来看，局部是极性分子，局部是非极性分子。但对极性分子和非极性分子的溶解能力都低于极性溶剂和非极性溶剂。洗洁精，使用的溶剂就和酒精类似，同时存在极性部分和非极性部分，可以洗涤油脂，并溶解于水。

平行四边形，满足镜像对称（穿过对角线交点的直线都是对称中心线）、旋转对称（旋转180度）。当变形时，对称不产生破缺！依然保持平行四边形。那么意味着平行四边形可以任意变形。正三角形，满足镜像对称（3个对称中心线）、旋转对称（旋转120度），通常的三角形没有对称性。那么三角形发生形变时，对称性通常消失了。比较两种形状的对称性变化情况，可得到结论：三角形形变是破坏性的，而平行四边形形变则保持完整性。那么三角形形变的代价大于平行四边形（如果三角形和四边形都不存在对称性，无法使用对称性来分析）。立体结构中，正四面体的情况和平面中的正三角形类似。平行六面体和平面中的平行四边形类似。那么同样正四面体很难形变，而平行六面体很容易形变。自然界最硬的物质金刚石，就是正四面体结构，其他坚硬的物质（刚玉，通常形式，莫桑石），都存在三角形结构。滑石，就是平行六面体，硬度很低，不如指甲。

电磁波充斥着宇宙，电场和磁场相互耦合。直观看起来，电场和磁场的对称性类似。丹麦人奥斯特做了一个实验，如右图。在直导线上平行放置一个磁铁，两者位于纸面所在平面。当导线通电时，磁铁偏转，离开纸平面。整个实验系统是保持同一平面内，作用双方导线和磁铁是平行，按照对称性要求，合理的结果应该是磁铁平行靠近或远离导线（对称性保持最高），或者南北极一方靠近，另外一方远离（南北极的差异体现）。总之是保持同一平面。结果却破坏了对称性。这说明不对称性是出现在电场或（和，）磁场中（按照居里定理的逆否形式）。电荷有单独的正电荷或负电荷，而磁极却永远是南北极共存，无法分离。这正是双方对称性不相同的外在表现。

中国历史时间平移性维持了千年，同时保持了社会结构的对称。基本是上层建筑和底层民众，不同朝代的上层出现方式不同，汉：世家，晋、南朝：上品，北朝：门阀，隋：门阀（时间短是因为门阀反击杨广成功），唐：门阀->军阀。宋：贵族消失，进入市民时代，中国进入顶峰时期，或许会改变时间平移性。但蒙古人入侵，中国灭亡。

迦太基是腓尼基人的移民国家。腓尼基公主避祸来到突尼斯湾，向当地人求借一张牛皮的土地栖身。获准后将牛皮剪成长条，圈里一大块地，修建了迦太基城。虽然采用了骗术，但对公主的承诺依然有效，如果是个王子的话，估计就是当地女首领同意的结果。问题是，牛皮长条的长度固定，所圈的土地是何种形状才能保证面积最大呢？我们采用对称的方法来解决。a.从直觉来看，牛皮绳索同样长度对面积的贡献应该是相同的。这个意味着从土地内观察绳索，满足旋转对称。土地就是圆形。b.从推理的角度，我们必须逐渐细化分析过程，获知土地形状。定义：1凸域，凸域边缘任意两点连一条直线，必然属于内部区域，不会和边缘有交点.2边缘上某点和相距周长一半的另外一点的连线称为径。推理次序：b.1土地的形状必然是凸的，为什么？b.2径将土地分为两块，则两块的面积一定相等。b.3如果径点所在地边缘是直线段，则此线段必然和径垂直。使用镜像对称证明。b.4边缘不存在任何直线线段，边缘是弧形的。使用镜像对称证明。b.5弧形边缘的切线必然和切点对应的径垂直，使用镜像对称证明。b.6不存在某点是两段弧的交点，即此点存在两条切线，切线的夹角不等于180度。使用旋转180度对称证明。b.7任意多个径的交点为同一点。使用镜像对称证明。b.8径的交点平分径。使用镜像对称证明。b.9径的长度都相等，使用镜像对称证明（*）b.10满足以上条件的边缘就是圆，土地就是圆形。#（若不使用对称方法，则需要变分法来推理。）

按照上题的推理方式，证明固定面积所围的封闭空间体积最大的形状是球形。在球面上，两点距离最短的线是什么？（线必须在球面上，不能穿越内部空间）（定义其中一点为北极，按照地球情况来看，北极和任意一点之间最短的线是什么？）最长的线又是什么？如何使用对称原理来推理？国际航班路线，经常穿过若干个国家的领空，会发现穿过领空的国家在地图上似乎并不在航线起点和终点之间。

现实的空间边界难以精确界定，游戏中的空间通常都是精确的。以游戏人物的包裹为例，都是二维的离散格子组成的空间。装入的物品也是小型号的二维离散格子，那么在填充包裹时，如何才能包裹容纳效率最高？随便在包裹中乱放物品，剩余空间会变得非常破碎，导致虽有足够的剩余空间，但无法放置一个物品。剩余空间以何种指标指示，才能反映剩余空间的完整程度？如有可能，编程实现包裹自动安置物品，使得包裹可以最大程度地满置。

前面提到蜂巢，表现为正六边形，完整地布满整个平面。布满平面而没有缝隙的形状有正三角形，正方形和正六边形（事实上，正五边形和等腰三角形混合、正方形和正三角形混合、2种菱形混合都可以铺满平面不留缝隙）。当设定以最小的边长总和来划分某面积时，毫无疑问，最接近圆的形状满足条件，结论就是正六边形划分平面。所以蜜蜂的蜂巢就是这一结果，可以最节省建筑材料。

信息的对称问题。在变换中，如果初始的信息没有任何损失，全部存在于结果中，那么从结果可以反推初始信息。我们对世界的认识就是以这种信息的反推得到。如果变换中损失部分初始信息，那么从结果反推初始信息将有两种情况：1.无法反推。2.反推出多个初始信息。现代密码算法，避免破译的方法就是制造信息损失（损失的信息就是密码！）。通讯中的加密信号，还要和伪随机信号进行处理，得到近似随机信号，让信号进入彻底的热寂状态。加密过程的复杂程度和解密过程的复杂程度不对称（这些过程的通常名称叫算法），解密复杂程度更高，使得复原信息的代价大幅度增加，当代价大于信息的价值时，我们就认为加密是有效的。现实生活中说某人的城府深浅，也是信息隐藏的另类称呼。比如说胸有惊雷而面如平湖，隐藏对某信息的反应，以欺骗观察者。或假痴不癫，直接给出错误信息。我们的眼睛为什么是两只？我们观察的三维对象，进入我们的眼睛，投影在视网膜上。而视网膜是二维，因此必然出现信息丢失。而同一对象中两只眼睛的视网膜上的投影是有差别的，这种差别弥补了投影带来的信息损失，使得我们的大脑可以加工出对象的真实情况。刚才的分析可以得到什么结论呢？差别=信息！这就是为什么彩色的世界比黑白的世界更丰富，原因就是差异更大。同等的差异程度，信息相同吗？狗咬人，人咬狗，差异程度类似，但是一个很常见，一个很罕见。则罕见的差异信息更多。波特兰.罗素曾说过：参差多态乃幸福的本源。信息丰富，至少精神追求多样化。人失去个性，仅存共性，就成为卡夫卡所说的“没有面孔的人”，连环画中的士兵都是这样。

观察宇宙，由光谱和多普勒效应，我们得到宇宙正在膨胀！那么能否由观察不同距离的远离地球的速度，推导出宇宙的膨胀中心呢？二十世纪二十年代，美国天文学家沙普利建立了银河系模型，并根据观察来确定中心与直径。但站在地球上观察银河，只能看到天空中它的原始意义，因为太阳是位于银河系中。通常是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，但我们依然推导出银河整体的全部信息。从对称的角度来看，按照居里定理，纯粹的内部视角信息无法推理出以外部视角观察到信息。就像一个人不借助外部因素，无法把自己提起来一样。所以借助了银河系以外的观测信息进行补充。内部视角信息+内部视角观察外部所得信息->外部视角的信息。银河的中心、直径、恒星数量估计，这些信息是仅与自身相关，而运动方向及速度、旋转速度信息是从银河外视角观察的。当给出宇宙边界的界定方式、恒星的演变规律、宇宙的模型，那么仅与宇宙自身相关的信息就可以通过观测的数据进行反演。数据同时可以修正模型，这样反复进行，就在对宇宙而言尘埃一样存在的地球上，得到宇宙的景象！而宇宙是膨胀的->宇宙具有起点->宇宙居然可能不是永生的！

能量转换的对称问题。功转热，效率100%，热转功，效率<100%。因此热功转换不对称。这种不对称产生的后果就是时间单向性。若热功转换对称，则永生都是可能存在。但实际上一个物质能量封闭系统，最终进入热寂。

梅乐芝经理的科普文章（十三）

第13节分形和混沌

标度对称，放大缩小后保持不变，换而言之，对象的一部分和整体相似。一朵白云，取其一半，还是一朵白云。而通常的物体，比如一个汽车，取其一半，只是汽车零件而已。但是，在地球上任何实际的物体，不能持续按照标度对称的方式，反复取其一半。因为到达分子阶段，物体的外在形式已不存在。在我们的想象中，或理论思考中，我们可以认为这样一种局部和整体相似的情况存在，不必反复进行放大或缩小。

海螺的体型，幼年和成年完全可以认为是放大缩小关系。但是人的体型，幼年和成年，完全不同。比如婴儿的眼睛位于头部中间，成人却是位于头部三分之二。婴儿的头部和身高比例是1：5，随着年龄增加，头部身高比例降低到1：7。对动物而言，多数都不满足幼年和成年身体尺寸比例恒定。前面曾阐述过动物的身体重量、摄入食物量、散热状况、身体骨骼承受能力相互之间的关联。因此按比例放大是不可能存在。而海螺类似的动物，其身体类似一个扁平的饼状，螺旋状的管道形成身体结构，内部并无骨骼，移动需求也可以忽略。并且随着体型变大，螺管的厚度也在增加。和其他无恒定比例的动物结构完全不同。

树木和动物有很大区别。每颗树都有根部，依赖根部从土壤获得的水分和矿物质。每根树枝依赖母枝提供养料，母枝对树枝而言就是土壤。则树枝的成长过程和树木本身完全类似，仅仅是规模不同。而动物的身体各部分功能不同，整体才能组成生命体。且各部分的生长方式完全不同，对身体而言，不存在局部和整体类似的生长状况（少数动物，比如蚯蚓，身体分为两段，可以独自继续成长。这类型的动物接近标度对称）。

自然界中，局部和整体相似处处存在。一个树枝，上有分枝，分枝又有小枝，小枝还有树叶。这个和树本身就很相像。从卫星角度观察海岸线，曲曲折折。从飞机上观看海岸线，曲曲折折。走在海边，看海水的边缘，曲曲折折。虽然不尽相同，但是曲曲折折的形象完全雷同。攀登山峰，总是看到更远处的高山。待到登上高峰，发现远处连绵不绝的山脉继续在前方蔓延。虽然形状稍有不同。但是连绵不绝形成的山色涂层，如同画布上的色带一样，颜色逐渐递浅。虽不是秋水共长天一色，却是极目楚天舒的效果。无论在那里登山，层层叠峦的风景依然历历在目，禁不住让人喊道：我又回来了。

现代电脑游戏的效果越来越逼真，山脉、云彩、森林、星球都很难分辨是照片或电脑生成。这些外在差异巨大的对象，以计算机的视角来看区别很小，整体的计算机描述没有区别，仅仅是若干细节的数值不同。我们来观看如何生成雪花的轮廓。线段长为3，对其三等分，补充两个长度为1的线段，令补充的线段和三等分中间的线段组成一个正三角形。然后去掉线段三等分中间的一段。我们把这个过程称为构造过程。现画一个正三角形，对每一个边进行构造过程，则产生12个线段，对新生成的12个线段再进行构造过程。则产生48个线段。对新生成的线段重复进行构造过程，持续不断。最后就生成了一朵雪花的轮廓。最早由瑞典人koch构造，称为koch雪花。

koch雪花有什么特点呢？每构造一次，线段的长度就为原长度的4/3倍。重复进行下，则线段长度无限增加。雪花的面积最终是多少呢？设原三角形面积为1，最后的雪花面积为1.6。面积是有限值，而长度无限增加！通常的线段长度都是有限的，而koch构造的线段长度无限，按照前面定义的一维（长度）、二维（面积）、三维（体积），koch的线段并不满足通常的维数定义。虽然是线段，不可能是二维，但长度无限，也不是一维情况。为了能够使用维数来定义对象，我们取消维数是整数的要求。那么koch线段的维数就处于一维和二维之间的某个数值！标度对称中的增加系数，就是构成过程进行一次线段长度增加的比例4/3。

观察人体的肺泡，前面曾介绍，为了充分进行气体交换，人体的肺泡数量多而体积小，在总体积不变的情况下，肺泡面积大幅度增加。如图为肺泡示意图。可以看到，和树木的情况类似，气管是树干，支气管是树枝，支气管下分的小管道是小枝，肺泡是树叶。如果这个过程持续分散下去，最终肺泡面积会达到无限，但实际的生物世界总是存在限制，但从思考的角度可以认为肺泡也是一类型的标度对称。其特征是体积有限，但面积无限！因此人体肺组织的维数就是介于二维和三维之间。标度对称中的增加系数，就是肺泡每级分割空间所增加的面积比例。

现在我们命名这些维数居然不是整数的对象，称为分形对象。可发现，这些对象仅仅是满足标度对称的特定分类。标度对称的增加系数则依赖构造过程中的表征增加比例，比如长度增加比例。

思考：

1.在现有世界中，我们可以观察的静态对象最大维数为3。当维数不限定为整数后，可观察大量维数0～3之间的对象。那么是否存在维数大于3的对象？膨胀的宇宙算否？

2.koch线段的标度对称增加系数为4/3，维数介于1和2之间，能否使用4/3来描述其维数？回忆我们对维数的定义，这样的增加系数是否满足重的要求？对于肺泡这样的对象，如何使用增加系数来定义维数？以汽车的尾气净化装置中的铂颗粒的分形过程为例，尝试给出维数数值。

3.如右图构造，对线段取三等分，去掉中间的一段。重复构造下去，则线段的长度为0！此时线段的维数小于1。线段最后变成无数个离散的点，线段已经无法维持，成为点集。以德国人cantor的名字命名。

4.如右图构造，在立方体的某个面上，九等分为九个正方形，挖掉中心正方形对应的立方体，对其他五个面也同样进行挖掉中心立方体。也就是对立方体二十七等分，挖掉各面六个，最后将立方体中心的小立方体（颜色涂黑的部分）也挖掉。以上操作完成一次构造。反复进行同样构造，最后立方体的体积为0，面积无限，变成一块海绵，以波兰人sierpinski的名字命名。尝试给出维数。观察面筋、冻豆腐、雪魔芋。

5.皮蛋，又称松花蛋，在蛋白表面存在若干花纹，类似松花。形成的原因称为粘性指进（viscousfingering），因流体粘度不同，粘度小的流体渗透进粘度大的流体时产生的随机分叉状况。（皮蛋的蛋白液变性，失去生物活性，成为凝固状蛋白，通常称这种现象为中毒。早期皮蛋的外包药剂中含有铅的氧化物，俗称密陀僧。现代皮蛋工艺中去掉了铅，采用锌或铜的氧化物。）

分形的构造过程中，重复进行构造，每次构造的规模不同，依次递减，我们将这种递减规模的重复构造行为称为递归。标度对称和递归是对同一种现象的不同视角描述：标度对称侧重整体特征，是静态描述；递归侧重实现过程，是动态过程。事实上，规模的递减是表面现象，递归的本质是：每次递归都在上次递归的结果上进行。

现代军队的组织是标度对称。以三三制为例：一军三师，一师三团…；变成一颗树的情景。树根是军，树干是师…树叶是士兵。军队的指挥是递归过程，军长给师长下令，师长给团长下令…班长指挥士兵。每个指挥者仅仅指挥若干个下属即可。

分形都存在对应的递归实现。以sierpinski垫片为例。a：如图所示，面积逐渐减少，最后为0。b：让人震惊的另类递归构造。1.在三角形内任意取一点，如右图中的十字星位置，2.随机选三角形一个顶点和十字星点连接，取连线中点，用五角星表示。3.使用步骤2生成的五角星点为顶点，重复步骤2。最后也生成了sierpinski垫片。注意：在表面上看此递归过程和上图中的递归不同，但实质都是依赖上次构造过程的结果来进行。由居里对称定理来分析，初始值是随机，过程对称，群体结果居然是对称！似乎不满足定理。但初始值随机，则全部随机的初始值可以布满整个三角形内部，意味着初始值的群体是对称的。即消除了个性的群体属性是对称的，对称的原因->对称的过程->对称的群体结果。那么任意一个随机初始值，不过是这个对称过程的具体实施。（结果是群体的！假设结果也是个体的，则初始群体的对称->结果群体的对称，单个初始和单个结果是否对称，则完全不知！此刻是个体->个体，而非个体->群体）（并非所有的随机初始->对称过程->对称群体结果，但群体结果的和是对称的。）

sierpinski垫片内包含任意一维的图形。按照a生成方法，结果让人很难相信，一个所有条件都固定的生成方法居然可以包含任意一维图形。但按照b生成方法，由于初始值是随机的，出现任意的一维线条组合似乎容易接受。在koch构造中，新增加的2个线段突起的方向固定是起点到终点的左边。若让突出方向变为随机，则koch线段也可以包含任意一维图形。你能想象到的一维任意复杂图形，都没有sierpinski垫片和随机koch线段复杂！这种包含了全部（!）一维图形的一维图形，我们称它实现了一维图形的遍历。普通的koch线段内，存在平移对称或旋转对称，无法满足遍历性。

最早研究分形的几何图形的人是法国人本华?曼德博（mandelbrot），他使用复数递归给出了极其漂亮的分形图形，这些图形充分阐述了分形的特征，自相似，也就是标度对称。

思考：

1.我们的大脑，保持分形结构，存在大量褶皱，使得大脑皮层的面积达到很高的数值。我们大脑的神经细胞（神经元）连接方式的可能性居然比宇宙中的原子数目还多！神经元的连接方式如果能遍历任意组合，那么我们将成为神！实际上我们大脑负责处理多数事物的神经元连接方式组合远远超过其他动物，因此在竞争中所向无敌。但组合方式数量始终是有限的（在很多项目上，因为处理神经元数目少，所以据劣势。比如视力vs隼，嗅觉vs猪；但理性思考和抽象思考方面的能力，使得人极度膨胀，丧失理性，有着成为神的冲动。）

2.不同尺度海岸线的曲折类似状况，蕴含着标度对称，就意味着存在遍历一维曲线的能力。通常可以使用随机koch来模拟海岸线。海岸线决定于大陆板块的运动、冰川变化、河流泥沙的沉积。而这些和地球内部流体运动、大尺度气温变迁相关联。可以说着小尺度上，决定海岸线的因素很随机，在大尺度上也很随机，直到地球板块阶段，大致轮廓才能确定。这也正是随机koch线段可以模拟海岸线的原因。

3.地质运动和火山这两种造山起因完全不同，所以山的外在表现特征不同。撇去山上的植被，无论规模大小，都存在不同程度的相似性。山的体积是有限值，而表面积无限扩充。和海绵相同，都是介于二维和三维的对象。火山喷发时，会产生大量浮石，可漂浮在水面上。这些浮石都是海绵类型的分形结构。由于孔状连接毕竟是岩石材质，可以作为搓脚石，去除体表死皮组织。

4.递归的本质给出了一个限制，上次递归的结果作为本次递归的初始值，那么意味着递归的输入和输出是同一类型。如果输入和输出完全不同类型，比如能量和时间，那么无法完成递归。在物理系统中，可通过变换过程的作用方式，使得输入输出完全同类型。最简洁的类型：输入输出是纯粹的数值，没有任何单位。在物理上称为无量纲方法，由美国人buckingham提出的Π定理来处理。在数学上，数值没有区别，但是存在数的组织方式的差异（标量、矢量、矩阵…）。当组织方式相同时，递归的方法一般称为迭代（过程一般称为算子）。数值大小上的差异：在计算机实施运算时，数值差异太大，导致表达误差的放大。让输入输出的数值大小接近（最好是在1附近），最大程度地保持精度，称为归一化处理。递归结束时，输出为最终结果，那么递归过程的中间产物从几何角度来看，就是不断接近最终结果的过程，可把最终结果称为不动点。如果中间结果和不动点之间的距离在持续减小，则过程是单调的。现实的世界总是存在误差，无法完美地抵达不动点。通常在中间结果在小范围变动而不逾越范围时结束递归，称递归停滞，并以此时中间结果为最终结果。

分形必然意味着递归，但递归不一定产生分形！分形是递归的充分条件，递归是分形的必要条件。意味着分形和递归两者不对称。那么产生分形和不产生分形的递归，存在什么差异？

在自然界，任何变动，都可以从多个角度来观察。从能量的角度，系统任何变动都可以分类为获得能量、能量不变、失去能量中的一类。失去能量过程，能量最低为0，无法为负。因此这类过程不可能产生遍历状况，因为能量比初始大的情况永远无法出现。获得能量过程，如果能量持续增加，最后到无限大。但能量低于初始值的情况无法出现。因此如果递归过程出现遍历，就必须：1.能量放大。2.能量不是单调放大，中间出现反复（震荡），进入低能量状态。能量不变，则能量任意转换。由能量转换的不对称性，最终能量变为无价值的热，无法实现能量遍历。能量无限大，这个无法在我们的宇宙出现。因此换视角，以状态的视角来观察递归过程。状态变动存在范围，那么观察状态是否遍历整个范围。状态变动，如果存在不动点，无论是单调接近还是震荡接近，都意味着无法遍历。如果中间结果的变动范围：1.始终不存在收缩，2.并且无规律可寻，那么意味着遍历（变动范围一直在增加，可能出现吗？）！我们把遍历状态的过程称为混沌过程。

在一个区间内出现遍历，和无限制的遍历，是等效的吗？遍历意味着标度对称，那么有限区间可以放大到无限，因此遍历等效。因此观察递归是否产生分形，则观察递归是否存在上述的两个特性。